Не пингуется шлюз
 

Вообщем есть две проблемы:
1. В локальной сети на одном из компьютеров не пингуется шлюз и нет Интернета, пока свой компьютер не включит другой пользователь. Раньше на другом не пинговался и, так же, пока не включит другой пользователь компьютер, не заработает Интернет. Т. е. на 1-ом компе нет Интернета, пока не включится 2-ой. А теперь на 1-ом постоянно работает, зато на 3-ем не работает, пока не включишь 2-ой;
2. К одному коммутатору подключены два компьютера. На одном компьютере Интернет работает от двух поставщиков (нужно только одну цифру в шлюзе поменять), а на другом пингуется только один.
Люди, как это можно решить?

нарисуйте схему как устроена сеть. Что творится в свойствах сетевых подключений на компьютерах ( можете выложить ipconfig /all с этих трех компьютеров ).

Файлы для первой проблемы: 1-й ПК.jpg, 2-й ПК.jpg, 3-й ПК.jpg.
Для второй: На этом не пингуется 192.168.0.3.jpg
Оставшийся файл - схема сети без остальных ПК.

у него ip из другой подсети, у всех 192.168.0.ххх/24 у этого же 192.168.1.37/24
или маску расширте или поменяйте ip

Но 192.168.0.2 на нём пингуется и Интернет работает. И раньше когда ip был из той же подсети, такая же ситуация была - 192.168.0.2 пингуется, есть Интернет; 192.168.0.3 не пингуется.

BaalDavar, чудес не бывает. Из одной подсети в другую пинг не пойдёт, если узкая маска или если нет маршрутизации.
Точка.

Вот что получилось после ipconfig /all, ping 192.168.0.2, ping 192.168.0.3
P.S. С первой проблемой так и не понятно, что делать.

ответ только почему-то от .123 :) может с маршрутами что-то, может еще с чем-то, информации недостаточно.
а что у вас там творится непонятно, по двум вопросам могу только посоветовать сбросить у всех настройки ( netsh winsock reset, route -f )и настроить сеть заново.

кстати, какую роль выполняет модем 192.168.0.2 ?

Ростелеком, а .3 - Билайн.
Раньше, когда вручную ставил настройки, ответ был от .3. Сейчас стоят автоматические, после того как соединили компьютер с видеорегистратором. И, как сказали установщики видеокамер, настройки должны быть автоматические. :(

BaalDavar, а как это у вас в сети два устройства с одним IP? на двух модемах включен dhcp? модели этих "модемов"

Проблема называется "статическая адресация", в которой кто-то что-то очень сильно напутал.
Включите автоматическое получение адресов по DHCP, на маршрутизаторе задайте время аренды адреса порядка 365 дней, и всё будет работать без проблем.